Balans fördjupning nr 3 2015

Anomali vid beräkning av internränta

Att kassaflöden med negativt netto kan ge ett positivt IRR, och vice versa, är ingen nyhet. Inte heller att dessa värden betraktas som ”falska lösningar”. I denna artikel visar Hasse R Persson att det i stället finns två korrekta lösningar.

En anomali har upptäckts som påverkar kalkyleringen av internränta IRR (Internal Rate of Return). Upptäckten kan rubriceras som smått sensationell. Förmodligen har många noterat att kassaflöden med negativt netto kan ge ett positivt IRR (och vice versa) och sett dessa värden som falska lösningar. Den påvisade anomalin ger i stället tolkningen att det finns två korrekta lösningar.

Vid sidan av dessa fakta vill jag påvisa att internränta är ett synnerligen effektivt mätetal för beräkning av lönsamhet som verkligen förtjänar att komma till användning. Detta gäller såväl intern som extern analys, alltså även Market Value Analysis (internränteberäkning av Economic Value Added). Dessutom har begreppen ROCE (Return on Capital Engaged) och internränta ett släktskap som visat sig användbart i lönsamhetssammanhang. Anomalin förtjänar därför att uppmärksammas.

Internränta och närliggande mätetal

Kalkylering av internränta baseras på den gamla metoden att värdera framtida in- och utbetalningar. En summa som skulle betalas 31 december ett visst år ansågs inte ha samma värde som 1 januari samma år. Skälet till detta är att i det senare fallet kunde summan tänkas öka under året genom affärsvinst, bankränta eller av andra orsaker.

Ansattes en kalkylränta r% var det möjligt att diskontera värdet från 31 december till 1 januari genom att dividera värdet med kvoten (1+r/100). Detta nya lägre värde kallades nuvärde.För att bedöma lönsamheten i en investering kan man på motsvarande sätt jämföra den initiala investeringskostnaden med nuvärdena av framtida vinster (intäkter minus kostnader). Det så kallade kapitalvärdet av investeringen kan då kalkyleras som summan av nuvärdena av de framtida vinsterna minus nuvärdet av den initiala investeringen. Kapitalvärdet blir beroende av valet av kalkylränta. Den speciella kalkylränta som medför att kapitalvärdet blir 0 (noll) kallas internränta. Kalkyleringsmetoden kallas även diskonterat kassaflöde (Discounted Cash Flow DCF).

Det finns ett nyckeltal som kan ha härletts från IRR i en tidig period innan datorkraften utvecklats, nämligen ROCE (Return on Capital Engaged). ROCE definieras vanligen som vinst före skatt dividerat med storheten (totala tillgångar minus kortfristiga skulder). Detta nyckeltal visas i många företags årsredovisning.

Inom företagsekonomi studeras ibland kostnader och intäkter under en produkts eller ett projekts livstid. Då mäts bland annat den punkt där summorna av kostnader och intäkter är lika stora, men med olika tecken. Denna punkt kallas the breakeven point.

Inom investeringskalkylering finns ett uttryck; annuitet med vilket menas den årliga vinst (intäkt minus kostnad) som en investering ska intjäna under ett bestämt antal år med en viss på förhand satt kalkylränta. Omvänt innebär detta att ett kassaflöde sammansatt av – investeringskostnad + årliga annuiteter ger ett IRR=den på förhand satta kalkylräntan. Metoden används vid annuitetslån i bank. Av annuiteten betalas en del till bankräntan och en del amorterar av skulden.

Det faktum att ränta beräknas med referens till återstående kapitalskuld visar släktskapet med ROCE. En IRR-kalkylering kan därför beskrivas som en breakeven-metod inklusive ränta.Beräkningen utförs med hänsyn till det bundna (engagerade) kapitalets utveckling under aktuell period vilket gör IRR till ett utomordentligt lönsamhetsmått.

Beskrivning av anomalin

För att påvisa anomalin används ett uttryck med tre termer.

I en given serie kassaflöden A, B och C är formeln för att kalkylera IRR(R) följande:

0=A+B/(1+R)+C/(1+R)2

(1)

Antag att A+B+C>0. Då är -A-B-C<0

Ekvationen för den senare serien kassaflöden blir då

0=-A-B/(1+R)-C/(1+R)2

(2)

Men teckenbyte i ekvation leder till att ekvation (1) och (2) är identiska och leder till samma lösningar (rötter) därför att ±0 är 0.

Det finns ingen distinktion i ekvationen som visar att den ena serien har en positiv summa innebärande vinst medan den andra har en negativ summa innebärande förlust. Inom företagsekonomi och gällande operativa kassaflöden är detta sensationellt, en klar anomali. Praktiskt innebär det att om ett IRR beräknas för en serie kassaflöden fås samma värde (och tecken) om kassaflödena reverseras.

En bank som lånar ut pengar och får återbetalning inklusive ränta får ett positivt IRR motsvarande bankräntan men det får också låntagaren med det reverserade flödet. (Är räntan ändå avdragsgill?). Aktuellt resultat strider mot logik och sunt förnuft. När summan av en serie kassaflöden =0 kalkyleras IRR också till 0 (noll). Är summan >0 har det uppstått ett överskott eller vinst. Det är konsekvent att en sådan situation ska beskrivas med ett positivt IRR. Är däremot summan <0 har det däremot uppstått ett underskott. Det behövs ett ”tillskott i kassan” för att få balans. Det är likaledes konsekvent att en sådan situation ska beskrivas med ett negativt IRR.

Den åskådliggjorda anomalin innebär att det är praktiskt omöjligt att beräkna båda dessa alternativ. Matematiken klarar bara av ett alternativ.

Det är beklagligt att inte de gamla grekerna hade detta problem inför ögonen. Då borde det nämligen existera ett axiom lydande: Om summan av ett operativt kassaflöde är positiv ska beräknad internränta representeras med ett positivt tecken, och vice versa. Om respektive tecken på kassaflödessumman och beräknat IRR inte stämmer överens bör det senare anses gälla den reverserade kassaflödessumman. Detta är den logiska konsekvensen av anomalin, nämligen ofullständigheten att inte kunna relatera till en vinst- eller förlustsituation. Om summan av kassaflödet är positiv men beräkning av IRR ger ett negativt resultat är det ju rimligt att detta resultat ska anses gälla det omvända kassaflödet, som ju har negativ summa.

Å andra sidan ter det sig då naturligt att det positiva kassaflödet representeras av samma IRR men med positivt tecken.

Följande exempel på kassaflödeserier illustrerar det ovan sagda samt hur resultatet bör korrigeras:

–1000, +300, +300, +300, +300 ger IRR=+7,71%

(Kassa ökar 200, vinst). IRR OK

+1000, -300, -300, -300, -300 ger IRR=+7,71%

(Kassa minskar 200, förlust). IRR bör vara-7,71%

–1000, +200, +200, +200, +200 ger IRR=-8,36%

(Kassa minskar 200, förlust). IRR OK

+1000, -200, -200, -200, -200 ger IRR=-8,36%

(Kassa ökar 200, vinst). IRR bör vara +8,36%

Om anomalin accepteras utgör det ovan presenterade en praktisk och enkel lösning. Den främsta effekten med anomalin tycks vara att en stor mängd resultat inte kan kalkyleras fram med matematisk metod utan måste deduceras fram logiskt med ”axiomet” som stöd.

Eftersom det inte kan uteslutas att frågeställningen kan tänkas bli kontroversiell och bli föremål för diskussion och debatt vill jag belysa situationen genom att påvisa andra möjligheter att göra ränteberäkningar.

Alternativ metod att beräkna operativ ränta

Mina första försök att beräkna förräntning under en period av flera år baserade sig på att räkna ut ett överskott per år och ställa detta mot det bundna kapitalet årsvis. Jag fann snabbt att den ovan beskrivna internräntemetoden fungerade bra i detta avseende.

Jag fann också det ovan nämnda sambandet, nämligen att internräntekalkyl för en investering med annuiteter gav som resultat att IRR blev lika med den satta kalkylräntan.

Genom att ställa upp beräkningsgången i tabellform ges möjlighet att analytiskt studera det matematiska förloppet i detalj. Annuitetsfaktorn har beräknats enligt formeln A=IR(1+R)p/((1+R)p-1), där I är investeringen, R åsatt kalkylränta samt p perioden i år. Om tabellen utvecklas kan den ekonomiska processen studeras. Se Figur 1, sid. 22.

För jämförelse visas även en tabell med omvänt kassaflöde. Genom anomalin blir IRR samma i båda fallen, 5%, vilket även är den satta kalkylräntan vid beräkning av aktuell annuitet. Lägg märke till att bundet kapital CE (Capital Engaged) under beräkningens gång bringas till ett nollvärde. Detta är ju avsikten i fallet banklån, nämligen att lånet ska återbetalas.

Uppenbarligen utförs den itererade beräkningen med målet att hitta ett (ränte)tal som rimmar med aktuellt kassaflöde men samtidigt återtjänar (”amorterar”) den ursprungliga investeringen.

Denna funktion är återkommande vid all internränteberäkning. Det är den ekonomiska ”breakeven”-punkten som uppnås med hänsyn även till den räntesats som itererats fram.En bild av beräkningsprocessen är följaktligen att det bundna eller engagerade kapitalet som är referensvärde för ränteberäkningen bringas till ett nollvärde vid processens slut.

I enkla investeringsfall innebär internräntan den förräntning på kapitalet som erhålls under aktuell period med samtidigt intjänande av investeringen.

I praktiken kan förekomma synnerligen komplicerade serier av kassaflöden men i grunden gäller ändå det ovan sagda. Detta visar likheten med ROCE som poängterats ovan. Det skulle inte förvåna om ROCE konstruerats som en approximation av IRR. PC fanns ju inte då ROCE introducerades (i början på 1970-talet?).

Med data enligt tabellen borde det gå att beräkna förräntningen av bundet kapital genom att ta årsgenomsnittet av ackumulerat kassaflöde, 101,63/3 och ställa detta mot årsgenomsnittet av det bundna kapitalet, ackumulerat CE, -2032,51/3. Denna beräkning, 101,63/-2032,51 ger som resultat -5%. Exakt! För tabellen med reverserat kassaflöde blir resultatet -101,63/2032,51, också -5%.

Det finns uppenbarligen en anomali även i denna beräkning.Relationen kan algebraiskt beräknas.

Observera att resultatet ger ett omvänt tecken mot det R som användes vid beräkningen av annuitet.

Vi har nu följande till synes motstridiga resultat:

IRR-beräkning

Genomsnitt

Ursprungligt kassaflöde

5% (1)

-5% (2)

Omvänt kassaflöde

5% (3)

-5% (4)

Värdet (1) bör vara korrekt med hänsyn till att annuiteten beräknades med denna räntesats. Det är rimligt att en serie av annuiteter som beräknats för att ge en förräntning på 5% också ger detta som resultat. Men varför ger (2) motsatt resultat?

Till att börja med har det konstaterats att ren matematik visar att så är fallet. Vad är grundorsaken?

Matematiskt innebär genomsnittsberäkningen en kvot, T(äljare)/N(ämnare). Tecknet (±) på kvoten bestäms av tecknen på T och N. T representerar här den ansamlade vinst eller förlust som åstadkommes av den aktuella serien av kassaflöden. Som påpekats tidigare ger från företagsekonomisk ståndpunkt ackumulerat kassaflöde information om vinst- eller förlustsituation råder. Tecknet på T bör vara utslagsgivande enligt tidigare resonemang (axiomatiskt när det gäller operativa kassaflöden).

N representerar ett ansamlat värde på kapitalbindningen (Capital Engaged) under aktuell period. I de aktuella fallen är ackumulerat CE i fallet ursprungligt kassaflöde negativt, vilket är det som orsakar det negativa tecknet i slutresultatet. Ackumulerat kassaflöde är ju positivt.

Vid omvänt kassaflöde är däremot ackumulerat CE positivt, medan ackumulerat kassaflöde är negativt. Där är det ackumulerat kassaflöde som är teckenbestämmande.

Tecknet på ackumulerat CE verkar däremot styras i första hand av tecknet på första termen i kassaflödesserien. I normalfallen arbetas CE till nollvärde. I enkla fall får då genomsnittsvärdet samma tecken. Vid komplicerade och volatila serier kan det alltså ske åtskilliga teckenbyten under resans gång. Inget talar dock för att tecknet för det genomsnittliga värdet av det bundna kapitalet har en pregnant information om vinst- eller förlustsituation.

I stället är det troligt att CE utgör ett referensvärde att beräkna aktuell ränta årsvis och som korrigeras positivt eller negativt med hänsyn till den delmängd av det årsvisa kassaflödet som återstår efter räntekorrigeringen. Det intressanta i referensvärdet är tydligen dess absoluta värde, inte tecknet.

Om beräkningen av (2) korrigeras med hänsyn till detta fås 101,63/|-2032,51|=+5%

Nu kan vi gå till värdet (4). Här har vi ett negativt ackumulerat kassaflöde, alltså en förlustsituation. Nämnaren är redan positiv och påverkar inte resultatet, som följaktligen är korrekt.

Tabellen ser nu ut så här:

IRR-beräkning

Genomsnitt

Ursprungligt kassaflöde

5% (1)

5% (2)

Omvänt kassaflöde

5% (3)

-5% (4)

Av våra två anomaliska parlösningar kan vi alltså välja (1) och (4) som korrekta och dessutom överensstämmande med sunt förnuft. Värdet (3) kan lämnas därhän eftersom det är identiskt med värde (1) emedan den beramade ekvationen endast kan lämna en lösning. Det korrigerade värdet (2) är intressant som komplement till diskussionen. Följande regler bör följaktligen gälla i praktiken:

Om IRR>0 gäller värdet för det kassaflöde som ger positiv summa. För reverserat kassaflöde gäller värdet -IRR.

Om IRR<0 gäller värdet för det kassaflöde som ger negativ summa. För reverserat kassaflöde gäller det absoluta värdet av IRR (+|IRR|).

Åtgärder

Anomalin som påvisats ovan måste akademiskt bli diskuterad, bedömd och erkänd för att nuvarande kalkyleringsmetoder ska kunna korrigeras.

Diskussionsmässigt lämnas ett förslag som komplement till nuvarande läromedel.

Interimistiskt komplement till läromedel inom högskolematematik och företagsekonomi.

Kalkylering av internränta

I en serie med årliga värden av kassaflöden A, B, C ... kan internräntan (Internal Rate of Return (IRR)) här representerad av R beräknas enligt formeln:

0=A+B/(1+R)+C/(1+R)2+...

Om antalet värden är större än två kan det finnas mer än en lösning. Då måste lösningen ske iterativt, lämpligen i en dator.

Tyvärr ger formeln samma lösning(ar) för värdena -A, -B, -C ... (Teckenändring!).

För operativa kassaflöden gäller:

Om summan av A+B+C+...>0 indikeras lönsamhet.

Då är summan av -A-B-C-...<0 vilket indikerar förlust.

Formeln kan alltså inte skilja mellan vinst och förlust.

Lösningen måste kompletteras logiskt för att ett korrekt resultat ska deduceras fram.

Denna korrigering innebär att alla framräknade resultat ska förses med ett ± tecken.

Tecknet på R ska vara plus (+) om summan av A+B+C+...>0. (Vinst).

Tecknet på R ska vara minus (-) om summan av A+B+C+...<0. (Förlust).

Som nominellt värde på R bör väljas det minsta (absoluta) värdet av de rötter som framräknats.

Initial investering är 1000

Annuitetsfaktor

Ränta %

Antal år

0,367209

5

3

Annuitet

367,21

Period

Jan år 1

Dec år 1

Dec år 2

Dec år 3

Internränta IRR 5%

–1000

367,21

367,21

367,21

Ack. kassaflöde/Ack. CE

Ack. kassaflöde

–1000

–632,79

–265,58

101,63

–5,00000%

Capital Engaged CE

–1000

–682,79

–349,72

0,00

Ack. CE

–1000

–1682,79

–2032,51

–2032,51

Internränta IIR 5%

1000

–367,21

–367,21

–367,21

Ack. kassaflöde/Ack. CE

Ack. kassaflöde

1000

632,79

265,58

–101,63

–5,00000%

Capital Engaged CE

1000

682,79

349,72

0,00

Ack. CE

1000

1682,79

2032,51

2032,51

Figur 1

Referenser

Spencer-Siegelman: Managerial Economics (1964)

Sandor Asztély: Investeringsplanering (1965)

Erich A. Helfert: Techniques of Financial Analysis (1982)

Hasse R Persson är civilingenjör och företagsekonom. Han har lång erfarenhet från chefsuppdrag inom bland annat AGA, SAAB och Ericsson. Han driver ett konsultbolag som arbetar med metoder inom “Profit Management” baserade på internränta.

Sifferkollen

Belopp

Basbelopp
År 2019 2020 2021
Prisbasbelopp 46 500 47 300 47 600
Förhöjt pbb. 47 400 48 300 48 600
Inkomstbasbelopp 64 400 66 800 68 200
Utdelning fåmansföretag
År 2019 2020 2021
Schablonbelopp 171 875 177 100 183 700

Räntesatser

Periodiseringsfond
År 2019 2020 2021
Räntesats 0,51 0,50 0,50

 

Referensränta
År 2016-07-01 2019-07-01 - 
Räntesats -0,5 0,0
Ränta på skattekontot
Period 2013-2016 2017 -
Intäkt 0,5625 0
Kostnad Låg 1,25 1,25
Kostnad Hög 16,25 16,25
Räntefördelning
Inkomstår 2019 2020 2021
Positiv 6,51 6,50 6,50
Negativ 1,51 1,50 1,50
Statslåneränta
År 2018 2019 2020
31 maj 0,49 0,05 -0,01
30 nov 0,51 -0,09 -0,10

Traktamenten

Bilresor
Inkomstår 2019 2020 2021
Egen bil 18,50 18,50 18,50
Förmånsbil, diesel 6,50 6,50 6,50
Förmånsbil, bensin 9,50 9,50 9,50
Kostförmån
År 2019 2020 2021
Frukost, lunch och middag 245 245 250
Lunch eller middag 98 98 100
Frukost 49 49 50
Skattefria gåvor
År 2019 2020 2021
Julgåva 450 450 500
Jubileumsgåva 1 350 1 350 1 500
Minnesgåva 15 000 15 000 15 000

Skattesatser

Bolagsskatt
År 2019 2020 2021
Skattesats 21,4% 21,4% 20,6%
Mervärdesskatt
År 2019 2020 2021
Normal

25 %

25 % 25 %
Livsmedel, krog m.m. 12 % 12 % 12 %
Persontransport, böcker m.m. 6 % 6 % 6 %
Arbetsgivaravgifter/egenaavgifter
Födda -1937 1938 - 1954 1955 -
Arb. avgifter 0 % 10,21% 31,42%
Egenavgifter 0 % 10,21% 28,97%

 

Visa mer...