Anomali(er) vid beräkning av internränta

I Balans Fördjupning nr 3/2015 diskuterades anomalier vid beräkning av internränta. En sådan är att den ekvation som uppkommer kan ha flera lösningar, vilket enligt allmän uppfattning ofta försvårar eller omöjliggör en praktisk användning av metoden. I denna artikel återkommer Hasse R Persson till denna problematik. Han hävdar att det i ekonomiska sammanhang endast finns en godtagbar lösning. Som visades i förra artikeln finns också en approximativ lösning som ger ett riktvärde. Artikeln kommer att behandla hur denna beräknas och hur den kan användas för att nå en (och endast en) lösning.

Beräkning av internränta kan appliceras på en godtycklig mängd periodiskt utfallande (ekonomiska) värden, exempelvis kassaflöden. Enda villkoret för att nå en lösning är att minst ett av värdena har motsatt tecken mot de övriga.

Ett polynom där den obekanta variabelns högsta potens är n har teoretiskt n lösningar eller rötter. Vid en internränteberäkning definieras vanligen nuvärdet mot tidpunkten för den första termen. Nuvärdet för denna behöver därför inte omräknas vilket leder till att polynomets högsta potens (vid n termer) blir n-1.

Följaktligen finns vid n termer i kassaflödet n-1 lösningar. Exempel: vid två termer en lösning, vid tre termer två lösningar och så vidare.

Inom intervallet –1000 %<IRR<+1000 % finns vanligen ett begränsat antal reella lösningar. Detta beror på att många rötter är irreella eller imaginära. (IRR = Internal Rate of Return).

Internränteberäkningens funktion

I min tidigare artikel om anomali har jag visat funktionen i detalj vid annuiteter, alltså konstant årligt kassaflöde för återbetalning. Här väljs ett exempel med ett godtyckligt men ändå logiskt kassaflöde för en produkt under dess livstid.

Normalt startas den med produktutveckling, sedan följer verktygstillverkning, materialinköp och arbetskostnader. Sedan kommer marknadsförings- och försäljningskostnader och därmed intäkter. Operativt kassaflöde gäller, alltså kostnader respektive intäkter som enbart avser produkten ifråga.

I tabell 1 visas en tänkbar utveckling av kostnader respektive intäkter för produkten under ett visst antal perioder (år). På detta årliga kassaflöde kan en internränta IRR beräknas, 34,63 %.

Vid summering (ackumulering) av kassaflödet fås, om produkten är vinstgivande, en funktion som skär tidsaxeln i en punkt. Denna kallas ”break-even point” innebärande att intäkterna kommit ikapp kostnaderna.

Som visas i tabell 1, raden Ack. kassaflöde, nås ”break-even” i period 5. Se även Diagram 1, Ack. kassaflöde (tunn linje).

I min förra artikel hävdade jag att interränteberäkning kan ses som ”break-even” med ränta. Med detta menas att om ackumulerat kassaflöde korrigeras med ränta (aktuell IRR) fås en funktion med slutvärde 0 (noll).

I tabell 1 visas detta med funktionen Ack kassaflöde korr. med 34,63 % där aktuellt kassaflöde periodiskt korrigerats med ett ränteuttag på 34,63 %. Som synes nås värde 0 (noll) i period 11. Se även Diagram 1, Ack. kassaflöde korr. med 34,63 % (tjock linje).

Denna funktion visar i själva verket utvecklingen av bundet kapital i räkneprocessen, vilket är liktydigt med bundet kapital i ekonomiskt hänseende under aktuell tidsperiod.

I det exempel som visades i min tidigare artikel var det annuiteter som studerades. Där var det naturligt, i varje fall när det gällde en lånesituation, att lånet återbetalades så att slutvärdet för bundet kapital blev 0 (noll).

Som visats är processen densamma här, att bundet eller engagerat kapital arbetas ned till 0 (noll) under slutperioden.

Beräkningsmetoden innebär, beskrivet på annat sätt, att det vid beräkning av internränta söks en räntefot som medför att motsvarande räntebelopp kan uttas under en period på i föregående period gällande bundet kapital.

Den andel av periodens kassaflöde som inte tas som ränta förändrar (”amorterar av”) det bundna kapitalet. I detta exempel, då till en början kassaflödet är negativt, ökar ränteuttaget det bundna kapitalet, medan mot slutet kassaflödet räcker både till räntan och att minska bundet kapital till noll (0).

Observera att räntan är positiv eftersom det ackumulerade kassaflödet är positivt (vinst).

Det verkar alltså inte spela någon roll om det rör sig om konstanta kassaflöden som i fallet annuiteter eller godtyckliga tal. Det går ju att föreställa sig att det rör sig om en låntagare som återbetalar efter möjlighet.

Lösningsproblematiken

Nu ska det problem som indikerades i ingressen tas upp. I detta exempel, med elva värden, kan det teoretiskt finnas tio lösningar eller rötter. De allra flesta är emellertid irrationella.

I detta fall finns ytterligare en reell rot, –189,84 %. Bortsett från att detta värde verkar orimligt och enligt anomalin bör vara positivt visas i Tabell 2 att detta lösningsvärde möjliggörs av att det bundna kapitalet till följd av volatila räntebelopp bringas ned till små värden, ofta med teckenbyten. Detta möjliggör den nominellt höga räntefoten rent matematiskt.

Se även Diagram 1, Ack. kassaflöde korr. med 189,84 % (streckad linje). I jämförelse med Ack. kassaflöde korr. med 34,63 % (tjock linje) som visar en helt logisk utveckling ter sig den streckade linjen inte trovärdig som uttryck för hur bundet kapital varierar under processen. Det torde vara näst intill omöjligt att föreställa sig ett skeende av ekonomisk natur som speglar denna utveckling.

Logiskt kan denna lösning räknas bort. Som tidigare anfört (i min förra artikel) anser jag att den lösning som har lägst (absolutvärde) alltid bör väljas, dels på grund av anförda skäl, dels av logiska och allmänt konservativa skäl (jämför med lägsta värdets princip vid lagervärdering).

Det finns emellertid ytterligare stöd för detta val. Som visades i min förra artikel kunde ett approximativt värde framräknas på räntan genom funktionen Ack. kassaflöde/Ackack. kassaflöde, de sista termerna. Eftersom anomalin härskar även här är det absolutvärdet som ska väljas.

Detta värde blir i det aktuella fallet 1500/4450 = 33,71 %.

Approximationen visar i princip ”rätt härad”, alltså storleksordningen för IRR. Lägg märke till att samma värde fås i Tabell 2. Logiskt sett bör det (absolut)värde väljas som ligger närmast det approximativa, vilket är opåverkat av hypotetiska ränteuttag. Värdet på Ack. kassaflöde, sista term, bestämmer dock alltid tecknet!

Vid standardberäkning av internränta visas vanligen bara ett värde. Detta kan kollas genom omräkning med approximationen som ”närmevärde”. Blir resultatet oförändrat är det första värdet godtagbart, om icke bör det nya (absolut)värdet vara giltigt. (Tecken se ovan).

Med hänsyn både till anomalin enligt tidigare artikel och problematiken med att välja rätt värde är det rimligt att ställa krav på beräkningsprogram av internränta att samtliga lösningar inom aktuellt intervall ska företes.

Hasse R Persson är civilingenjör och företagsekonom. Han har lång erfarenhet från chefsuppdrag inom bland annat AGA, SAAB och Ericsson. Han driver ett konsultbolag som arbetar med metoder inom “Profit Management” baserade på internränta.

Diagram 1: “Break-even” med och utan ränta